Đề thi học sinh giỏi quốc gia môn toán 12 – 2010

Câu 1. Giải hệ
.

.
Câu 2. .
a. Tìm công thức dãy .
b. Chứng minh rằng dãy giảm.
Câu 3. Cho đường tròn . Hai điểm cố định trên đường tròn, không phải đường kính. Lấy là một điểm trên đường tròn không trùng với . là các đường phân giác trong và ngoài. là trung điểm của . Qua trực tâm tam giác kẻ đường thẳng vuông góc với cắt tại .
a. Chứng minh rằng luôn đi qua một điểm cố định.
b. Tìm sao cho lớn nhất.
Câu 4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương phương trình có nghiệm tự nhiên.
Câu 5. Cho bảng và là một số nguyên dương cho trước. Tìm số các cách tô màu không như nhau khi tô mỗi ô bởi 1 trong màu.
Hai cách tô màu gọi la như nhau nếu 1 cách nhận được từ cách kia bởi 1 phép quay quanh tâm.